— 무한 계산을 하지 않는 우주에 대하여
우리는 학교에서 이렇게 배운다.
0.999… = 1
이 등식은 수학적으로 완벽하게 참이다.
의심의 여지가 없다.
무한히 이어지는 9의 나열은, 한계(limit)를 취하면 정확히 1이 된다.
그런데 여기서 한 가지 질문을 던져보자.
자연은 정말로 ‘무한히 이어지는 계산’을 수행하는가?
1. 수학의 실수(real number)는 값이 아니라 언어다
수학에서 실수는 완결된 객체다.
0.999…도, π도, √2도 모두 “이미 존재하는 값”처럼 다뤄진다.
하지만 물리학의 관점에서 보면 상황이 달라진다.
실수는 무한 정밀도를 전제한 표현 체계다.
즉, 무한한 정보와 무한한 연산 능력이 있다는 가정 위에서만 성립한다.
문제는 이것이다.
자연은 유한한 시간,
유한한 에너지,
유한한 정보 처리 능력을 가진다.
자연은 계산기를 들고 무한 급수를 끝까지 계산하지 않는다.
2. 0.999…는 ‘값’이 아니라 ‘진행 중인 계산’이다
수학적으로 0.999…는 1과 동일하다.
하지만 물리적으로 보면, 0.999…는 완성된 결과가 아니다.
그것은 다음을 의미한다.
- 끝나지 않은 계산
- 무한히 누적되는 부분합
- 아직 출력되지 않은 결과
즉,
0.999…는 존재가 아니라,
평가 중인 상태(state under evaluation)이다.
이 상태는 본질적으로 미정(pending) 이다.
아직 계산이 끝나지 않았기 때문이다.
3. 물리적 존재란 ‘과정’이 아니라 ‘출력값’이다
여기서 물리학의 기준을 하나 세워보자.
존재한다는 것은,
유한한 연산이 종료되어
결과가 출력되었음을 의미한다.
과정 자체는 존재가 아니다.
존재는 언제나 확정된 상태다.
이 관점에서 보면,
양자역학에서 말하는 중첩(superposition)은 다음처럼 해석할 수 있다.
- 양자 중첩 상태
→ 아직 계산이 끝나지 않은 확률적 연산 과정 - 고전적 상태
→ 계산이 종료되어 출력된 결과
즉, 고전 세계는 “특별해서” 나타난 것이 아니라
계산이 끝났기 때문에 나타난 것이다.
4. 반올림은 수학적 편의가 아니라 물리적 필연이다
컴퓨터에서 반올림은 선택 사항이 아니다.
연산 자원이 유한하기 때문에 반드시 발생한다.
물리계도 마찬가지다.
- 확률이 1에 무한히 가까워져도
- 계산이 끝나지 않으면
- 그 상태는 아직 존재로 확정되지 않는다
어느 순간, 시스템은 결정을 내려야 한다.
“여기까지 계산했다.
이제 결과를 확정한다.”
이때 등장하는 것이 **임계치 ε(엡실론)**이다.
5. ε — 존재가 허용되는 최소 결정 조건
ε은 단순한 수치가 아니다.
그것은 존재가 발생하기 위한 최소 조건이다.
- ε이 너무 작다면
→ 세계는 영원히 확률로만 남는다 - ε이 너무 크다면
→ 세계는 지나치게 빨리 고정된다
우리는 ε의 정확한 값을 모른다.
하지만 한 가지는 확실하다.
세계가 ‘존재한다’는 사실 자체가
ε의 존재를 증명한다.
0.999…가 언젠가 1로 “확정”되듯이,
양자 중첩도 언젠가는 하나의 결과로 확정된다.
이 전이는 수학적 동일성이 아니라
**물리적 커밋(commit)**이다.
6. 한 문장으로 요약하면
“0.999… = 1이라는 수학적 등식은,
우주가 무한 계산을 허용하지 않음을 암시하는
가장 일상적인 물리적 증거다.”